一、平均值不等式

设a₁,a₂,…, a_n是n个正实数，则，当且仅当a₁=a₂=…=a_n时取等号

1.二维平均值不等式的变形

(1)对实数a,b有a²+b²³2ab　　　　　　　　　

(2)对正实数a,b有

(3)对b>0，有，　　

(4)对ab²>0有，

(5)对实数a,b有a(a-b)³b(a-b)　　　　　　　　　　　　　　　

(6)对a>0,有

(7) 对a>0,有　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(8)对实数a，b有a²³2ab-b²

(9) 对实数a，b及l¹0，有

，当且仅当b_i=la_i (1£i£n)时取等号

柯西不等式的几种变形形式

1.设a_iÎR,b_i>0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当b_i=la_i (1£i£n)时取等号

2.设a_i,b_i同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b₁=b₂=…=b_n时取等号

　 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

一、不等式证明的基本方法

1．比较法

比较法可分为差值比较法和商值比较法。

（1）差值比较法

原理　 A－ B＞0A＞B．

【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：

（a^m＋b^m）（aⁿ＋bⁿ）＜2（a^m+n+b^m+n）。

（2）证明：··≤。

【例2】设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≤b₂≤…≤b_n，j₁,j₂,…,j_n是1,2,…,n的任意一个排列，令

S=a₁+ a₂+…+ a_n，S₀=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_nb₁，S₁=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n。

求证：S₀≤S≤S₁。

（2）商值比较法

原理　 若>1，且B>0，则A>B。

【例3】已知a,b,c>0，求证：a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^c+ac^a+b。

2．分析法

【例4】若x,y>0，求证：>。

【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a⁴+b⁴+c⁴<2(a²b²+b²c²+c²a²)。

3．综合法

【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S_△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令

S=，t=。

求证：t>S。

4．反证法

【例8】已知a³+b³=2，求证：a+b≤2。

5．数学归纳法

【例9】证明对任意自然数n，。

二、不等式证明的若干技巧

无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。

1． 变形技巧

【例1】若n∈N，S=++···+，

求证：n<S<n+1。

【例2】（1）若A、B、C∈[0，π]，求证：

sinA+sinB+sinC≤3sin。

（2）△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A‘,B’,C‘，求证：S_△ABC≤S_{△A’B‘C’}。

2． 引入参变量

【例3】将一块尺寸为48×70的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。

【例4】在△ABC中，求证：a²+b²+c²≥4△+(b-c)²+(c-a)²+(a-b)²。

其中，a,b,c是△ABC的三边长，△= S_△ABC。

3． 数形结合、构造

【例5】证明：≤。

4． 递推

【例6】已知：x₁=，x₂=，···，x_n=。求证：。

三、放缩法

【例1】若n∈N，n≥2，求证：。

【例2】α、β都是锐角，求证：≥9。

【例3】已知：a₁≥1，a₁ a₂≥1，···，a₁ a₂···a_n≥1，求证：

。

【例4】S=1+++···+，求S的整数部分[S]。

【例5】设a₀=5，a_n=a_n-1+，n=1,2,···。求证：45<a₁₀₀₀<45.1。