例说分析综合“三步曲”

    分析与综合的统一是研究和解决物理问题最基本的方法之一。所谓分析，就是把整体

分解为部分，把复杂的事物分解为简单的要素并分别加以研究所谓综合，就是把研究对象

的各个部分各方面和各种因素联结起来形成对客观对象统一整体的认识。作为思维操作的分析综合，正是思维主体对认识对象按照一定目标的这样或那样的分解与组合，在解决物理问题时它表现为“分”、“联”、“合”相联贯的一体化解题过程

    一“分”以研究部分                         

    解决物理问题通常是从分析问题开始的，这就是将研究对象的整体进行分解，然后逐个地加以研究比如在期决力学问题时常常采用这样一些方法

    1．将研究对象从整体中“隔离”出来

    当人们要认识和了解研究对象内部各部分的特征、规律和相互联系时就必须将整体

进行解剖，单独取出其中的某一部分进行研究

    例1：如图1所示，有一质量为m的均匀软绵，其两端分别悬挂在天花板的A、B两点，绳子两端的切线方向与水平面均成θ角，求绳子最低点C处张力的大小

分析：所谓绳子的张力就是绳子的一部分对另一部分的拉力，是绳子这一研究对象内部各部分间的相互作用力。要了解这一作用力的大小，就必须深入到绳子内部进行考察，为此，可将该绳子分解成左右两部分，不仿取其中的AC部分进行如图2所示的受力分析，由力的平衡条件可得方程

                T_Asinθ= mg

 T_Acosθ= Tc

于是可求得绳子C处张力的大小为：Tc= mg ctg

2．把过程划分为若干阶段

    事物运动演化的过程常常是曲折多变的，为了便于研究，人们往往将一个完整的过程划分为若干阶段进行研究

    例 2，一列长 100m的列车以v₁=20 m／s的正常速度运行，当通过 1000m长的大桥时，列车必须以v₂=10 m／s的速度运行，在减速与加速的过程中，加速度大小均为0.5m/s²，求列车因为过桥而延误的时间。

分析：列车的运动可划分为减速—一匀速——加速三个阶段，其运动情况如图3所示。在减速运动阶段。列车运行的时间为

其位移为：

匀速运动阶段，列车经过大桥的位移如图4所示应为：s₂=1000+100=1100m，这一阶段的运动时间是：

在加速运动阶段，这一阶段列车的运动规律与第一阶段比较具有对称性，于是根据这一特征可得列车运行时间为：t₃=t₁=20s，列车运行的位移为：S₃=S₁=300m

 因此，列车因为过桥所用的总时间为：t=t₁+t₂+t₃=20+110+20=150s

总位移为:：S=S₁+S₂+S₃=1700m

假如列车以正常的速度v₁完成这段位移，运动的时间为

因此，列车因过桥而延误的时间为：△t=t-t₀=150-85=65s

3．把复杂的运动分解为简单的运动

把复杂的运动分解为简单的过程进行研究，是解决物理问题的重要手段，它是分析问题的重要形式，我们再来看如下一个问题：

 例3：如图5所示：竖直放置的内壁光滑的圆桶内径为R，在顶端边缘处有一个小孔A，A处沿切线方向有一光滑槽。小球以初速度v₀从槽上由孔A进入圆桶沿内壁运动。圆桶足够高。现要在人射孔A的正下方挖一个孔B，使得小球恰能从孔B飞出，问孔B应距孔A多远？

 分析：小球的运动是一个较为复杂的螺旋线运动，其运动轨迹如图6所示。为了解答这一问题，我们可将小球的运动分解为以速率v₀沿水平面方向的匀速圆周运动和沿竖直向下的自由落体运动。由于孔B处于孔A的正下方，如欲使小球恰从孔B飞出，小球由A运动到B的路程应等于水平圆周长的整数倍，若小球由A运动到B所用的时间为t，于是有

               v₀t = 2πRn，（n=1、2、3…）

由此可得：

竖直方向由自由落体运动规律可得，A、B间距离应为：

  即孔B 应在孔A正下方 远处。（n=1、2、3…）   

二、“联” 以把握关系

组成整体的各个部分，作为整体内部所含的因素或过程，总是处于与其它部分的相互联系或相互作用之中，当我们完成了将研究对象进行分割（分解）研究的任务之后，应该在此基础上进一步地考察和研究部分与部分之间及部分与整体之间的联系和相互作用的规律，从而正确地把握各部分之间的联系，从中搜寻到解决问题的必要信息。

  物理对象各部分之间的关系通常包括：时间上，过程发展的相继延续关系；空间上位置变化的空间几何关系；逻辑上，引起与被引起的因果关联关系，等等。研究和探讨各部分问的相互联系，是解决物理问题十分关键的一个环节。

  例4：甲、乙两辆汽车从同一地点由静止开始做匀加速直线运动，甲车始终以恒定的加速度运动到终点，乙车加速运动到一半距离后改做匀速运动，若两车同时到达同一终点，求甲、乙两车做加速运动时的加速度之比。

  分析：由图7所示的图象分析可看出，对于乙车来说，其运动过程可分为加速运动和匀速运动两个阶段，这两个阶段在肘间上的关系是t₁=2t₂，即t₁=2T；从甲、乙二车的关系来看，它们的运动在时间上相同，t_甲=t_乙=3T，在空间上同位移，即S_甲=S_乙。

 由上述两种关系的分析可得方程

于是可解得，甲、乙两车做加速运动时的加速度之比为

图 7

三、“合”以认识整体

 在完成了对研究对象所进行的化整体为部分、化复杂为简单的分析研究后，还必须在全面掌握事物各部分、各方面的特征以及内在联系的基础上，形成对客观对象的统一整体认识，从而从总体上把握事物的本质，这就是综合。这是一个综合解题成果的过程。分析是综合的基础，综合是分析的发展和最终目标，分析又是以综合为前提的。由整体到部分的“分”和由部分到整体的“合”，是同一解题过程的两种思路。解决物理问题的过程，就是反复运用分析方法和综合方法的过程，是“分与“合’的辩证统一过程

  例5、质量为1kg的物体在光滑水平面上受几个大小均为1N的水平作用力而处于静止状态。先撤去一个向东方向的力，历时1S；然后又撤去一个向西方向的力，又历时1S；最后再撤去一个向北方向的力，再历时3S。求这一物体最终的位置和整个过程位移的大小。

  分析：为了便于研究，我们不妨以正东方向为十x方向，以正北方向为+y方向建立xoy平面直角坐标系。

 首先，我们将物体的运动在时间上划分为三个阶段，这就是第l秒内的第一阶段，第2秒内的第二阶段和最后3秒的第三阶段

 同时，又将物体的运动在空间上分解为两个方向的运动，即沿东西方向的x方向运动和沿南北方向的y方向运动。

 然后，分别考察被研究物体在各阶段沿各个方向的运动情况。

以上的解题操作，属于思维的分析过程，其分析的结果可由下表所示：

    最后、该是综合解题结果的时候了。

该物体在x方向的位移为    x=x₁+x₂+x₃ ＝ －4.5m；

y方向的位移为    y = y₁＋y₂＋y₃ = 一4.5m，

因此物体的总位移为   

其位移与x方向的夹角为α=45⁰，即物体最终在西南方向4.5 m处（如图8所示）这就是在分析的基础上形成对问题的整体认识的综合过程.

    综上所述，“分”以研究部分，“联”以把握关系，“合”以认识整体，形成了运用分析综合方法解决物理问题的基本程序。