函数的奇偶性概述(高一)

陈  明(北京市通州区潞河中学)

1.函数奇偶性的几个性质：

(1)对称性：奇偶函数的定义域关于原点对称；

(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；

(3)可逆性：f(-x)=f(x) f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)  f(x)是奇函数；

(4)等价性：f(-x)=f(x) f(x)-f(-x)=0, f(-x)=-f(x) f(x)+f(-x)=0；

(5)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

(6)可分性：根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。

2．关于奇偶性的几个命题的判定

命题1  函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2  两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。

命题3  f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。

此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|= 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。

命题4  如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么f(x)是奇函数或偶函数。

此命题错误。如函数f(x)= 从图象上看，f(x)的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。

命题5  函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。

此命题正确。由函数奇偶性易证。

命题6  已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

此命题正确。由奇函数的定义易证。

命题7  已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。

此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。