三角形中的四类“数列”问题

曾安雄  (浙江省泰顺县第一中学  325500)

解三角形是高中数学中的一个重要内容，也是历年高考的必考知识点，它通常是与三角函数、立体几何、解析几何、数列等相结合进行考查。由于对数列与三角形知识相结合，课外资料讨论得很少，故本文对常见的四类与数列结合问题加以归纳，供参考。

1．角A、B、C成等差数列

    若角A、B、C成等差数列，即A+C=2B，又A+B+C=180°，则B＝60°，A+C＝120°。

    例1  已知△ABC的三个内角满足A+C＝2B， ，求cos 的值。                         (96年全国)

解  由A+C=2B，有B=60°，A+C=120°，可设α＝ ，即A-C=2α，

于是得          A=60°+α，C=60°-α，

由已知得   

所以                      

即            

解得            。

例2  在△ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，设它们所对的边分别为a,b,c，并且c-a等于AC边上的高h，求sin 的值。                   (91年高中联赛)

解  由角A、B、C成等差数列，得B＝60°，A+C＝120°，又 bh= acsinB，

即                           b(c-a)=acsinB，

由正弦定理得      ,

所以      

有            ,

又c-a>0,有C>A，解得 .

2.角A、B、C成等比数列

若角A、B、C成等比数列，即B ＝AC。

例3  在△ABC中，角A、B、C成等比数列，且b -a =ac，求三个内角的大小。

         (85年高中联赛)

解  由题设及正弦定理，可得sin B-sin A=sinAsinC，

即                        sin(B+A)sin(B-A)=sinAsin(B+A)，

所以  sin(B-A)=sinA，  得             B＝2A。           

因为A、B、C成等比数列，有C= =4A。又A+B+C=π，所以A= ，从而B= π，C= π。

3.边a,b,c成等差数列

若三边a,b,c成等差数列，即a+c=2b。由正弦定理，可知等价于sinA、sinB、sinC成等数列，即sinA+sinC=2sinB。从而可得

①cos= =2cos ；

②cosA+cosC=4sin ；

③tan tan = 等等。

例4  在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A-C= ，求sinB的值。                                                           (98年高考)

解  由已知a+c=2b，据①，得 及A-C= ，

即 ，故sinB=2sin cos =2sin

    例5  在△ABC中，三边a、b、c成等差数列，试求5cosA-4cosAcosC+5cosC的值。

(98年湖南数竞)

解  由已知及①、②可得

5cosA-4cosAcosC+5cosC

=5(cosA+cosC)-2〔cos(A+C)+cos(A-C)〕

=20sin -2 .

4.边a、b、c成等比数列

若三边a、b、c成等比数列，则有b =ac。再由正弦定理，三角形的三边关系，可得

① 0<B≤ ；

② 设公比为q，有 等等。

例6  △ABC的三边的长a、b、c依次等比数列，则sinB+cosB的取值范围是(    )

(A) (1， ).              (B) .

(C) (0, ).              (D) .            (97年“希望杯”)

解  由题意及①，得  0<B≤ ,   所以     

所以        sinB+cosB= sin(B+ )∈(1, )，

选A。